Detail předmětu
Matematika 5 (S)
FAST-NAA019Ak. rok: 2026/2027
Základy numerické matematiky, zejména interpolace a aproximace funkcí, numerické derivování a integrování, řešení algebraických a diferenciálních rovnic a jejich soustav.
Jazyk výuky
čeština, angličtina
Počet kreditů
4
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Ústav matematiky a deskriptivní geometrie (MAT)
Nabízen zahraničním studentům
Všech fakult
Vstupní znalosti
Základní kurzy matematiky v BSP, programování v jazyku MATLAB (v rozsahu volitelného kurzu na ústavu MAT).
Způsob zakončení předmětu a pravidla hodnocení studentů
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění stanoví každoročně aktualizovaná vyhláška garanta předmětu.
Učební cíle
Pochopit základní principy numerických výpočtů a seznámit se s faktory, které ovlivňují numerické výpočty. Umět řešit vybrané základní úlohy numerické matematiky. Pochopit princip iteračních metod řešení rovnice f(x)=0 a systémů lineárních algebraických rovnic, zvládnout výpočetní algoritmy. Seznámit se s problematikou interpolace a aproximace funkcí a naučit se úlohy prakticky řešit. Znát principy numerické derivace a umět numericky řešit okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Naučit se numerickým výpočtům integrálů.
Výstupem předmětu jsou znalosti a schopnosti, které studentům umožní pochopení základních numerických úloh a myšlenek, na nichž jsou založeny algoritmy jejich řešení. Ve své bodoucí praxi v oboru svého studia budou schopni posoudit použitelnost numerických metod pro řešení technických problémů a efektivně používat existujících univerzálních programových systémů pro řešení základních typů numerických úloh i jejich budoucích zdokonalení.
Výstupem předmětu jsou znalosti a schopnosti, které studentům umožní pochopení základních numerických úloh a myšlenek, na nichž jsou založeny algoritmy jejich řešení. Ve své bodoucí praxi v oboru svého studia budou schopni posoudit použitelnost numerických metod pro řešení technických problémů a efektivně používat existujících univerzálních programových systémů pro řešení základních typů numerických úloh i jejich budoucích zdokonalení.
Základní literatura
DALÍK J.: Numerické metody. CERM Brno 1997. (CS)
Zařazení předmětu ve studijních plánech
- Program NPA-SIS magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný
- Program NKC-SIS magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný
- Program NPC-SIS magisterský navazující 1 ročník, zimní semestr, povinný
- Program CZV1-AKR celoživotní vzdělávání v akr. stud. programu
specializace PNM , 1 ročník, zimní semestr, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor
Osnova
- 1. Chyby v numerických výpočtech. Kontraktivní zobrazení, aplikace na řešení nelineárních algebraických rovnic: metoda prosté iterace. .
- 2. Newtonova metoda: Fourierovy podmínky.
- Přímé metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, zejména multiplikativní rozklady: Choleského rozklad, LU rozklad, princip QR rozkladu.
- 4.-5. Iterační a relaxační metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic: Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda, princip relaxace.
- 6. Newtonova metoda pro nelineární soustavy.
- 7. Podmíněnost soustav lineárních rovnic. Metoda nejmenších čtverců: princip, diskrétní případ.
- 8. Lagrangeův interpolační polynom, zejména Newtonův tvar. polynom.
- 9. Hermiteův interpolační polynom. Kubické splajny: princip pro lagrangeovské splajny, výpočet pro hermiteovské splajny.
- 10. Numerické derivování. Metoda konečných diferencí, aplikace na okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu.
- 11. Numerické integrování: obdélníkové, lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo včetně odhadu chyby aproximace.
- 12.-13. Metoda konečných prvků, aplikace na okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu. Princip metody konečných prvků pro parciální diferenciální rovnice.
Cvičení
13 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
- 1.-2. Úvod do MATLABu: prostředí MATLABu, MATLAB online, přiřazování do proměnných, dvojtečka, operace s čísly a vektory, kreslení, komentáře, nápověda MATLABu, cyklus for-end a podmínka if-else-end. Zadání individuální semestrální práce.
- 3.-4. Opakování metod pro řešení 1 nelineární rovnice: graf funkce a odhad kořene, skript pro 1 konkrétní příklad a metodu bisekce, zobecnění pro libovolnou funkci a počáteční vstupy (for, if, plot, anonymní funkce).
- 5.-7. Implementace iteračních metod pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic: operace s maticemi (*, .*, +, inv, det, size a podobné), norma vektoru, tvorba řešiče pro soustavu s dolní trojúhelníkovou maticí, pomocí něj tvorba skriptu pro Gaussovu-Seidelovu metodu v maticovém zápisu, vytvoření funkce včetně ověření vstupů (diagonální dominance apod.).
- 8.-9. Aproximace funkcí: metoda nejmenších čtverců maticově, využití připravené Gaussovy-Seidelovy iterace pro řešení normální rovnice, Lagrangeova interpolace – tvar polynomu a nalezení koeficientů, možná vazba na numerické integrování složeným lichoběžníkovým pravidlem.
- 11.-12. Obyčejné diferenciální rovnice: explicitní a implicitní Eulerova metoda pro řád 1, metoda konečných diferencí pro řád 2, využití připraveného řešiče soustav lineárních algebraických rovnic, porovnání s metodou konečných prvků.
- 13. Zhodnocení semestrální práce.